نیروهای گسترده بخش سوم

مثال ویدیویی رسم نموار برش و خمش تیر در استاتیک مریام بخش 3

تاریخ انتشار

آذر 1403

آخرین به‌روزرسانی

شهریور 1405

آموزش‌های مرتبط

آموزش استاتیک مریام

فایل‌های تکمیلی

دارد

مدرس آموزش

مهندس سید محمد صادق آل‌محمد

مهندس عمران

کارشناس ارشد ژئوتکنیک

۱- آنچه در این آموزش خواهیم خواند…

فصل پنجم از کتاب استاتیک مریام به بحث نیروهای گسترده پرداخته است. این فصل را در سه آموزش بررسی می‌کنیم. عنوان سومین آموزش، مثال ویدیویی رسم نمودار برش و خمش تیر در استاتیک مریام بخش 3 می‌باشد. در این آموزش به حل مسئله رسم نمودار نیروی برشی و لنگر خمشی می‌پردازیم. در آموزش نیروهای گسترده بخش اول مباحث مرکز جرم و مرکز هندسی را شرح دادیم. همچنین در آموزش نیروهای گسترده بخش دوم مباحث نیروهای خارجی و داخلی وارد به تیرها بررسی شد.

۲- مسائل

برای فهم بهتر حل مسائل می‌توانید به ویدیو مراجعه کنید.

۱-۲- مسئله ۷

نمودارهای نیروی برشی و لنگر خمشی را برای تیر بارگذاری شده شکل مقابل رسم کنید. ماکسیمم لنگر خمشی را به‌دست آورید و محل آن را نسبت به انتهای چپ تیر تعیین کنید.

مثال ویدیویی رسم نموار برش و خمش تیر در استاتیک مریام بخش 3

ابتدا عکس‌العمل‌های تکیه‌گاهی را با استفاده از رسم دیاگرام آزاد کل تیر و تبدیل نیروهای گسترده به متمرکز، تعیین می‌کنیم:

\curvearrowright^+\mathrm{\Sigma}M_A=0\rightarrow1\times\frac{4}{3}+2\times3+1.5\times6-R_2\times5=0\rightarrow\ R_2=3.27\ kN

\mathrm{\Sigma}F_y=0\rightarrow3.27-1-2-1.5+R_1=0\rightarrow\ R_1=1.233\ kN

مقطع با طول x در محدوده ۰ تا ۲ متر

\mathrm{\Sigma}F_y=0\rightarrow\ V=1.233-\frac{x^2}{4}

\curvearrowright^+\mathrm{\Sigma}M_s=0\rightarrow\ M=1.233x-\frac{x^2}{4}\times\frac{x}{3}=1.233x-\frac{x^3}{12}

مقطع با طول x در محدوده ۲ تا ۴ متر

\mathrm{\Sigma}F_y=0\rightarrow\ V=1.233-1-\left(x-2\right)=2.233-x

\curvearrowright^+\mathrm{\Sigma}M_s=0\rightarrow\ M=1.233x-1\left(x-\frac{2}{3}\times2\right)-\left(x-2\right)\left(\frac{x-2}{2}\right)=-0.667+2.233x-0.5x^2

مقطع با طول x در محدوده ۴ تا ۵ متر
برای مقطع سمت راست تیر داریم:

\mathrm{\Sigma}F_y=0\rightarrow\ V-1.5+3.27=0\rightarrow\ V=-1.77

\curvearrowright^+\mathrm{\Sigma}M_s=0\rightarrow\ M+1.5\times\left(6-x\right)-3.27\left(6-x-1\right)=0\rightarrow\ M=7.33-1.767x

مقطع با طول x در محدوده ۵ تا ۶ متر
برای مقطع سمت راست تیر داریم:

\mathrm{\Sigma}F_y=0\rightarrow\ V=1.5

\curvearrowright^+\mathrm{\Sigma}M_s=0\rightarrow\ M=-1.5\times\left(6-x\right)=-9+1.5x

در مقطع با طول x در محدوده ۰ تا ۲ متر، با توجه به محاسبات قبل داریم:

V=1.233-\frac{x^2}{4}

M=1.233x-\frac{x^3}{12}

حال با جایگذاری مقادیر x در دو معادله بالا داریم:

M	V	x
0	1.233	0
1.8	0.233	2

با توجه به اینکه نمودار بار صعودی است بنابراین تقعر نمودار برش رو به پایین خواهد بود. چون مقدار بار مثبت است نمودار برش نزولی خواهد بود. همچنین نمودار بار خط است پس نمودار برش سهمی درجه ۲ خواهد بود. نمودار برش درجه ۲ است پس نمودار خمش درجه ۳ خواهد بود. نمودار برش کاهشی است پس تقعر نمودار خمش رو به پایین خواهد بود.
در مقطع با طول x در محدوده ۲ تا ۴ متر، با توجه به محاسبات قبل داریم:

𝑉=2.233−𝑥

𝑀=−0.667+2.233𝑥−0.5𝑥^2

حال با جایگذاری مقادیر x در دو معادله بالا داریم:

M	V	x
1.8	0.233	2
0.265	-1.77	4

چون نمودار بار مثبت است بنابراین نمودار برش نزولی خواهد بود. نمودار بار ثابت است پس نمودار برش خطی است. نمودار برش خطی است در نتیجه نمودار خمش درجه ۲ خواهد بود. نمودار برش کاهشی است پس تقعر نمودار خمش رو به پایین خواهد بود.
ماکسیمم مقدار نمودار لنگر خمشی جایی است که مقدار برش برابر صفر باشد. بنابراین معادله برش را برابر صفر قرار داشته تا محل آن x حاصل شود و مقدار آن در معادله خمش گذاشته تا ماکسیمم لنگر حاصل گردد. داریم:

0=2.233-x\rightarrow x=2.233

x=2.233\rightarrow M=1.83

گشتاور خمشی را نیز می‌توان با گرفتن انتگرال از نیروی برشی در بازه 0-x محاسبه کرد.
در مقطع با طول x در محدوده ۴ تا ۵ متر، با توجه به محاسبات قبل داریم:

𝑉=−1.77

𝑀=7.33−1.767𝑥

حال با جایگذاری مقادیر x در دو معادله بالا داریم:

M	V	x
0.265	-1.77	4
-1.5	-1.77	5

مقدار بار صفر است پس نمودار برش ثابت است. نمودار برش ثابت است بنابراین نمودار خمش خطی خواهد بود.

در مقطع با طول x در محدوده ۵ تا ۶ متر، با توجه به محاسبات قبل داریم:

𝑉=1.5

𝑀=−9+1.5𝑥

حال با جایگذاری مقادیر x در دو معادله بالا داریم:

M	V	x
-1.5	1.5	5
0	1.5	6

در محل ناپیوستگی نمودار، مقدار عکس العمل تکیه‌گاه با مقدار برش جمع می‌شود (1.5=3.27+1.77-). همچنین بار متمرکز انتهایی مقدار منفی دارد بنابراین: (0=1.5-1.5). در ادامه نمودار برش ثابت است پس نمودارخمش خطی خواهد بود.
حال با اطلاعات بالا نمودار نیروی برشی و لنگر خمشی به شکل زیر رسم می‌گردد.

۲-۲- مسئله ۸

نمودارهای نیروی برشی و لنگر خمشی را برای تیر بارگذاری شده شکل مقابل رسم کنید. ماکسیمم لنگر خمشی را بدست آورید.

برای مشاهده حل این سوال به صفحه آموزش (حل تمرین استاتیک تمامی فصل‌ها) مراجعه کنید.
ادامه مباحث این فصل در مورد کابل‌های انعطاف‌پذیر و استاتیک سیالات مطرح می‌شود. همچنین موضوع فصل ششم کتاب استاتیک مریام نیز اصطکاک و موضوع فصل هفتم نیز کار مجازی می‌باشد، که فعلا آن‌ها را بیان نمی‌کنیم. اگر نیاز به آموزش این مباحث دارید در بخش نظرات به ما اطلاع دهید تا در زمان مناسب مبحث آموزشی آن را برای شما آماده کنیم.

۳- مراجع

Meriam, J. L. and Kraige, L. G. (2011). Engineering Mechanics Volume 1: Statics. 7th ed. ‎John Wiley and Sons Inc

دانلود جزوه رسم نمودار برش و خمش تیر در استاتیک مریام بخش ۳

فرمت فایل

pdf

حجم فایل

۲.۱ مگابایت

کد آموزش

۳۱۳-۰۰۱-۰۱۰

برای تسلط بیشتر بر این مبحث و یادگیری کامل‌تر مطالب، پیشنهاد می‌کنیم دوره جامع ویدیویی مرتبط با این موضوع را مشاهده کنید. این دوره با آموزش‌های کاربردی و مثال‌ها و تمرین‌های متنوع، مسیر یادگیری و تسلط شما را ساده‌تر می‌کند.