سیستم‌های نیرو بخش اول

سیستم‌های نیرو و گشتاور در استاتیک مریام بخش 1

تاریخ انتشار

آبان 1403

آخرین به‌روزرسانی

شهریور 1405

آموزش‌های مرتبط

آموزش استاتیک مریام

فایل‌های تکمیلی

دارد

مدرس آموزش

مهندس سید محمد صادق آل‌محمد

مهندس عمران

کارشناس ارشد ژئوتکنیک

۱- آنچه در این آموزش خواهیم خواند…

فصل دوم کتاب استاتیک مریام در دو بخش آموزش داده شده است. این آموزش، سیستم‌های نیرو و گشتاور در استاتیک مریام بخش 1 می‌باشد.

در این آموزش ابتدا به تعریف نیرو پرداخته و پس از آن موضوع مهم گشتاور (ممان – لنگر) را شرح می‌دهیم. در بخش دوم سیستم‌های نیرو به مباحث کوپل و برآیندها می‌پردازیم.

۲- نیرو

۱-۲- تعریف نیرو

عمل یک جسم بر جسم دیگر را نیرو (Force) تعریف می‌کنیم. نیرو یک کمیت برداری است و دارای راستا و اندازه است. بنابراین نیروها را می‌توان طبق قانون متوازی‌الاضلاع با یکدیگر ترکیب کرد. بنابراین در تعریف کامل اثر یک نیرو بر یک جسم باید اندازه، راستا و نقطه اثر آن را تعیین کنیم بنابراین نیرو را به‌عنوان یک بردار ثابت در نظر می‌گیریم.

اثر نیرو بر یک جسم به دو بخش اثرات خارجی و اثرات داخلی تفکیک می‌شود. اثرات خارجی شامل نیروهای عمل و نیروهای عکس‌العمل هستند. نیروهای عمل نیروهایی هستند که تمایل دارند جسم را به حرکت در بیاورند و نیروهای عکس‌العمل نیروهایی هستند که باعث تعادل جسم می‌شوند. اثرات داخلی نیز به‌صورت تغییر شکل‌ها و نیروهای داخلی بروز می‌کند.

۲-۲- اصل انتقال‌پذیری

نیروی وارد بر یک جسم صلب را می‌توان بر هر نقطه واقع بر خط اثر این نیرو وارد کرد بدون اینکه تغییری در اثر نهایی این نیروی خارجی بر جسم ایجاد شود. به این اصل، اصل انتقال‌پذیری (Principle of Transmissibility) گوییم.

سیستم‌های نیرو و گشتاور در استاتیک مریام بخش 1
اصل انتقال پذیری نیروها

۳-۲- طبقه‌بندی نیروها

نیروها به دو دسته نیروهای تماسی و نیروهای حجمی طبقه‌بندی می‌شود. نیروی تماسی در نتیجه تماس فیزیکی مستقیم به‌وجود می‌آید. به‌طور مثال نیروی وارد بر یک جسم از طرف سطح تکیه‌گاه آن، نمونه‌ای از نیروهای تماسی است. نیروهای حجمی به سبب قرار گرفتن جسم در یک میدان نیرو، بر جسم وارد می‌شوند. مانند وزن اجسام که نوعی از نیروهای حجمی است.
علاوه بر طبقه‌بندی بالا، نیروها را می‌توان در یک نگاه دیگر به دو دسته نیروهای متمرکز و نیروهای گسترده تقسیم کرد. نیروها می‌توانند بر روی یک سطح بر روی یک حجم یا بر روی یک خط توزیع شوند. این‌گونه نیروها را نیروهای گسترده می‌نامند. اما نیروهای متمرکز به‌صورت عمل نیرو بر یک نقطه است.

۴-۲- نیروهای همرس

چنانچه خط اثر دو یا تعداد بیشتری نیرو همدیگر را در یک نقطه قطع کنند این نیروها را نیروهای همرس گویند.

۵-۲- مولفه‌های متعامد یک نیرو

در مبحث مقدمه‌ای بر استاتیک در مورد مولفه‌های یک بردار بحث شد. اما در اینجا مؤلفه‌های متعامد را دوباره شرح می‌دهیم.
متداول‌ترین شکل نمایش دوبعدی یک بردار نیرو تجزیه آن به مؤلفه‌های متعامد است. با استفاده از قانون متوازی‌الاضلاع می‌توان بردار F را به‌صورت زیر نوشت.

سیستم‌های نیرو و گشتاور در استاتیک مریام بخش 1

\vec{F}=\vec{F_x}+\vec{F_y}

که F_x و F_y مؤلفه‌های برداری F در راستای محورهای x و y هستند. هر یک از این دو مؤلفه برداری را می‌توان به‌صورت حاصل‌ضرب یک اسکالر در یک بردار واحد نوشت. با انتخاب بردارهای واحد i و j در امتداد محورهای x و y بردار F را می‌توان به‌صورت زیر نوشت.

\vec{F}=F_x\vec{i}+F_y\vec{j}

مؤلفه‌های اسکالر با توجه به جهت بردار F در دستگاه مختصات می‌توانند مثبت یا منفی باشند. برای بردار نیروی F در شکل بالا مؤلفه‌های اسکالر x و y هر دو مثبت هستند و رابطه آن‌ها به‌صورت زیر است:

F_x=F\cos{\theta} \\\\\ F_y=F\sin{\theta}

F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}

\theta=\tan^{-1}{\frac{F_y}{F_x}}

۳- مسائل

برای فهم بهتر حل مسائل می‌توانید به ویدیو مراجعه کنید.

۱-۳- مسئله ۱

نیروی F=500 N به یک تیرک عمودی وارد می‌شود.
الف) نیروی F را بر حسب عبارت‌هایی از بردارهای واحد i و j بنویسید و مؤلفه‌های اسکالر و برداری آن را تعیین کنید.
ب) مؤلفه‌های اسکالر بردار نیروی F را در امتداد ′x و ′y به‌دست آورید.
ج) مؤلفه‌های اسکالر نیروی F را در امتداد محورهای x و ′y به‌دست آورید.

الف)

\vec{F}=\left(F\cos{\theta}\right)\vec{i}+\left(F\sin{\theta}\right)\vec{j}=(500\cos{60)}\vec{i}+\left(500\sin{60}\right)\vec{j}=250\vec{i}-433\vec{j}

F_x=250N \\\\\ \vec{F_x}=250\vec{i}\ N

F_Y=-433N \\\\\ \vec{F_Y}=-433\vec{j}\ N

ب)

F_{xˊ}=500N \\\\\ F_{yˊ}=0

ج)

\frac{\left|F_X\right|}{\sin{90}}=\frac{500}{\sin{30}} \\\\\ \left|F_X\right|=1000\ N

\frac{\left|F_{y\prime}\right|}{\sin{60}}=\frac{500}{\sin{30}} \\\\\ \left|F_{y\prime}\right|=866\ N

F_X=1000\ N \\\\\ F_{Y\prime}=-866\ N

۲-۳- مسئله ۲

نیروهای F₁ و F₂ به نقطه C وارد می‌شوند. تصویر برآیند این دو نیرو در امتداد محور b را تعیین کنید.
با استفاده از قانون کسینوس‌ها داریم:

R^2={80}^2+{100}^2-2\times80\times100\times\cos{130} \\\\\ R=163.4 N

F_b=80+100\cos{50}=144.3

۳-۳- مسئله ۳

در شکل مسئله دو عضو یک خرپا را می‌بینید که یکی تحت کشش و دیگری تحت فشار است. این نیروها متقابلا به مفصل O وارد می‌شوند. اندازه برآیند این دو نیرو یعنی R و زاویه θ که این بردار با جهت مثبت محور x می‌سازد را تعیین کنید.
برای مشاهده حل این سوال به صفحه آموزش (حل تمرین استاتیک تمامی فصل‌ها) مراجعه کنید.

۴- گشتاور

۱-۴- گشتاور یک نیرو

تمایل نیرو به چرخش جسم حول یک محور مشخص که غیرموازی و غیر متقاطع با نیرو باشد را گشتاور نیرو گوییم.
شکل زیر یک جسم دوبعدی است که تحت اثر نیروی F که در صفحه جسم به آن وارد می‌شود، قرار دارد. اندازه گشتاور متناسب با اندازه نیروی F و بازوی گشتاور d است. بازوی گشتاور، فاصله عمودی از محور O تا خط اثر نیروست. بنابراین اندازه گشتاور را می‌توان به‌صورت زیر تعریف کرد:

M=F×d

برای تعیین جهت بردار گشتاور قانون دست راست را بکار می‌بریم. به این صورت که دست راست خود را ببندید و آن را به‌گونه‌ای نگه دارید که انگشتانتان در همان جهتی باشد که نیروی F تمایل به چرخش جسم دارد. در این حالت انگشت شست شما جهت گشتاور M را نشان می‌دهد.

گشتاور از تمامی قوانین جمع بردارها پیروی می‌کند و می‌توان آن را به‌عنوان یک بردار لغزان با خط اثری که منطبق بر محور گشتاور است در نظر گرفت. واحدهای اصلی گشتاور در سیستم SI نیوتن‌متر (N.m) می‌باشد.
جهت گشتاورها را با استفاده از یک علامت قراردادی مشخص مانند علامت مثبت برای گشتاورهای پادساعتگرد، و علامت منفی برایی گشتاورهای ساعتگرد بیان می‌شود.

گشتاور نیروی F نسبت به نقطه O در شکل بالا را می‌توان به کمک ضرب خارجی زیر بیان کرد.

\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}

که r بردار موقعیت است که از نقطه مبدا o و تا یک نقطه دلخواه بر روی خط اثر F امتداد می‌یابد. اندازه گشتاور را بر اساس رابطه بالا چنین محاسبه می‌کنیم:

M=F\times r\sin{\theta}

همواره بایستی جهت r×F را حفظ کرد زیرا گشتاور حاصل از F×r خلاف جهت r×F می‌باشد.

\vec{F}\times\vec{r}=-(\vec{r}\times\vec{F})

۲-۴- قضیه وارینیون

این قضیه بیان می‌کند که گشتاور یک نیرو حول یک نقطه مرجع با برآیند گشتاور مولفه‌های آن نیرو حول همان نقطه برابر است. و به این صورت اثبات می‌شود که مطابق شکل زیر فرض می‌شود نیروی R بر صفحه جسمی وارد می‌شود. نیروهای P و Q مولفه‌های نامتعامد بردار R هستند. حال گشتاور این نیرو محاسبه می‌شود.

\vec{M_o}=\vec{r}\times\vec{R}

\vec{M_o}=\vec{r}\times\left(\vec{P}+\vec{Q}\right)

\vec{M_o}=\vec{r}\times\vec{P}+\vec{r}\times\vec{Q}

۵- مسائل

برای فهم بهتر حل مسائل می‌توانید به ویدیو مراجعه کنید.

۱-۵- مسئله ۴

اندازه گشتاور نیروی 600N نسبت به نقطه O را به پنج روش مختلف محاسبه کنید.

روش اول:

M=Fd

d=FD+DE

در مثلث ABC

\sin{40}=\frac{BC}{2}\rightarrow\ BC=2\sin{40}=FD

در مثلث ADE

\cos{40}=\frac{DE}{4}\rightarrow\ DE=4\cos{40}

d=FD+DE=2\sin{40}+4\cos{40}=4.35m

M=Fd=600×4.35=2610 𝑁.𝑚

روش دوم: با استفاده از تجزیه مؤلفه‌ها و قضیه وارینون

𝐹_1=600\cos⁡40=460𝑁

𝐹_2=600\sin⁡40=386𝑁

M=460×4+386×2=2610𝑁.𝑚

روش سوم: با استفاده از اصل انتقال‌پذیری

گشتاور مؤلفه F₂ حذف می‌شود

𝑀=𝐹_1 𝑑_1=𝐹_1×(𝐴𝐵+𝐵𝑂)→𝑀=460×(2\ tan⁡40+4)=2610𝑁.𝑚

روش چهارم: با استفاده از اصل انتقال‌پذیری

گشتاور مؤلفه F₁ حذف می‌شود.

𝑀=𝐹_2 𝑑_2=386×(2+4\cot⁡40 )=2610𝑁.𝑚

روش پنجم: با استفاده از نمایش برداری گشتاور و ضرب خارجی

\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{r}\times\ F\vec{n}=(2\vec{i}+4\vec{j})\times600(\vec{i}\cos{40}-\vec{j}\sin{40})

\vec{M}=\left|\begin{matrix}2&4\\459.6&-385.7\\\end{matrix}\right|\vec{k}=\left(2\ast\left(-385.7\right)\right)-4\ast459.6=-2610\vec{k}\ N.m

M=2610N.m

۲-۵- مسئله ۵

کابل AB تحت کشش 400N قرار دارد. گشتاور این نیروی کششی که به نقطه A از میله باریک OA وارد می‌شود را نسبت به نقطه O تعیین کنید.

برای مشاهده حل این سوال به صفحه آموزش (حل تمرین استاتیک تمامی فصل‌ها) مراجعه کنید.

۶- مراجع

Meriam, J. L. and Kraige, L. G. (2011). Engineering Mechanics Volume 1: Statics. 7th ed. ‎John Wiley and Sons Inc

دانلود جزوه بخش ۱ فصل ۲ استاتیک مریام سیستم‌های نیرو و گشتاور

فرمت فایل

pdf

حجم فایل

۲.۳ مگابایت

کد آموزش

۳۱۳-۰۰۱-۰۰۲

برای تسلط بیشتر بر این مبحث و یادگیری کامل‌تر مطالب، پیشنهاد می‌کنیم دوره جامع ویدیویی مرتبط با این موضوع را مشاهده کنید. این دوره با آموزش‌های کاربردی و مثال‌ها و تمرین‌های متنوع، مسیر یادگیری و تسلط شما را ساده‌تر می‌کند.