مقدمه‌ای بر استاتیک

آموزش فصل اول استاتیک مریام برای رشته عمران | فیلم و جزوه

تاریخ انتشار

آبان 1403

آخرین به‌روزرسانی

شهریور 1405

آموزش‌های مرتبط

آموزش استاتیک مریام

فایل‌های تکمیلی

دارد

مدرس آموزش

مهندس سید محمد صادق آل‌محمد

مهندس عمران

کارشناس ارشد ژئوتکنیک

۱- آنچه در این آموزش خواهیم خواند…

در آموزش فصل اول استاتیک مریام برای رشته عمران | فیلم و جزوه، ابتدا به تعریف علم مکانیک، مفاهیم و اصول آن می‌پردازیم. پس از آن به بررسی کمیت‌های برداری و اسکالر پرداخته و در ادامه بحث قوانین نیوتن، واحدهای اندازه‌گیری و قانون گرانش را شرح خواهیم داد. در انتهای آموزش نیز شیوه حل مسائل مختلف در استاتیک را بیان خواهیم کرد. عنوان آموزش فصل اول استاتیک مریام برای رشته عمران | فیلم و جزوه، مقدمه‌ای بر استاتیک می‌باشد.

۲- کتاب‌های مرجع درس استاتیک

در مبحث استاتیک دو مرجع اصلی وجود دارد. اولین کتاب در زمینه آموزش استاتیک کتاب استاتیک جیمز ال. مریام و ال گلن کرایگ است. دومین مرجعی که برای آموزش استاتیک می‌توان نام برد کتاب استاتیک فردینانند پی. بیر، ای. راسل جانسون و دیوید اف مازوروک می‌باشد. هر دو کتاب برای آموزش استاتیک مناسب و مرسوم هستند و ترجمه‌های خوبی از هر دو به چاپ رسیده است. در مبحث آموزش استاتیک در سیویل ژئوتک مبنای کار ما کتاب مریام است و فایل کتاب زبان اصلی و پاسخ‌نامه آن را می‌توانید از بخش کتابخانه دانلود کنید. خوب است بدانید که ناشر کتاب استاتیک مریام McGraw-Hill می‌باشد.

آموزش فصل اول استاتیک مریام برای رشته عمران | فیلم و جزوه

۳- تعریف علم مکانیک، مفاهیم و اصول

۱-۳- مکانیک چیست؟

مکانیک یکی از شاخه‌های علم فیزیک است که تأثیر نیروها بر اجسام را مورد بررسی قرار می‌دهد. در تحلیل‌های مهندسی، علم مکانیک نقش مهمی دارد. اگرچه اصول علم مکانیک کم تعداد هستند، اما کاربردهای بسیار زیادی در مهندسی دارند. اصول علم مکانیک جهت تحقیق در زمینه‌هایی مانند پایداری و مقاومت سازه‌ها، جریان سیال و… نقش اساسی دارند. بنابراین درک اصول علم مکانیک به‌عنوان یک پیش‌نیاز ضروری برای شروع به کار در زمینه‌های مذکور محسوب می‌شود. علم مکانیک از دیدگاه مفهومی به دو بخش کلی تقسیم می‌شود:

۱- استاتیک که تعادل اجسام تحت اثر نیروها را مورد‌توجه قرار می‌دهد.

۲- دینامیک که به بررسی حرکت اجسام می‌پردازد.

۲-۳- مفاهیم و اصول اساسی مکانیک

مفاهیم و تعاریفی که در زیر بیان شده است، اساس مطالعه و آموختن علم مکانیک را تشکیل می‌دهند.

۱- فضا (Space): ناحیه هندسی که به‌وسیله اجسام اشغال شده است. هر نقطه از فضا با دستگاه مختصات دوبعدی یا سه‌بعدی مشخص می‌شود.

۲- زمان (Time): معیار سنجش توالی رویدادهاست. زمان به‌طور مستقیم در تحلیل مسائل استاتیک وارد نمی‌شود.

۳- جرم (Mass): مقدار ماده تشکیل‌دهنده جسم می‌باشد. جرم معیار سنجش اینرسی (اینرسی: مقاومت در برابر تغییر سرعت) می‌باشد و عامل ایجاد جاذبه گرانشی بین اجسام است.

۴- نیرو (Force): عمل یک جسم بر جسم دیگر است. نیرو تمایل دارد جسم را در راستای خط اثرش حرکت دهد. نیرو یک کمیت برداری است که دارای اندازه، راستا و نقطه اثر است.

۵- ذره (Particle): جسمی با ابعاد خیلی کوچک است. یا به بیان دیگر جرم متمرکز در یک نقطه است. در حالت ایده‌آل وقتی ابعاد جسم در بیان موقعیت و یا نیروهای وارد بر آن تأثیر نداشته باشد. از دیدگاه ریاضی ذره جسمی است که ابعاد آن بسیار نزدیک به صفر است.

۶- جسم صلب (Rigid Body): جسمی که تغییر شکل ندهد یا فاصله بین ذرات آن تغییر نکند جسم صلب می‌باشد. صلبیت نسبی است و زمانی که تغییر شکل بر محاسبات اثر نداشته باشد جسم صلب فرض می‌شود. دانش استاتیک اصولاً به محاسبه نیروهای خارجی وارد به اجسام صلب در حال تعادل می‌پردازد.

۴- کمیت‌های برداری و اسکالر

در علم مکانیک با دو نوع از کمیت‌‌ها سروکار داریم یکی کمیت اسکالر، و دیگری کمیت برداری است.
کمیت‌های اسکالر (Scalar Quantities): آن‌هایی هستند که تنها با یک مقدار مشخص می‌شوند. برای مثال: زمان، حجم، چگالی، انرژی و…
کمیت‌های برداری (Vector Quantities): علاوه بر اندازه دارای راستا نیز می‌باشند و از قانون جمع متوازی‌الاضلاع پیروی می‌کنند. برای مثال: سرعت، شتاب، نیرو، گشتاور و…
بردارهایی که نشانگر کمیت‌های فیزیکی هستند در سه گروه بردارهای آزاد، لغزان و ثابت طبقه‌بندی می‌شوند.
بردار آزاد (Free Vector): برداری است که منحصر به یک نقطه نیست. مانند جابه‌جایی یک جسم صلب که دوران و چرخش ندارد.

بردار لغزان (Sliding Vector): برداری است که مقید به یک خط مشخص است. یعنی می‌تواند روی خط اثر خود جابه‌جا شود. مانند بردار وارد بر یک جسم صلب.

بردار ثابت (Fixed Vector): برداری که منحصر به یک نقطه از فضاست. مانند نیروی وارد بر یک جسم غیر صلب.

۱-۴- قراردادهای مرسوم

به‌طور مثال برای کمیت برداری V به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:
برای نشان دادن کمیت‌های برداری از علائم زیر استفاده می‌شود.

\underset{-}{V}

یا

\mathbf{V}

یا

\vec{V}

و برای نشان‌دادن اندازه آن از علائم زیر استفاده می‌شود.

\left|V\right|

یا

V

۲-۴- آشنایی با بردارها

همان‌طور که در شکل مشخص است، راستای بردار V با زاویه‌ای که نسبت به یک راستای مرجع اندازه‌گیری می‌شود، مشخص می‌گردد. منفی بردار V را با V- نمایش می‌دهیم و دارای اندازه برابر، راستای یکسان اما جهت مخالف یکدیگر هستند.

بردارها بایستی از قانون جمع متوازی‌الاضلاع پیروی کنند. این قانون بیانگر این است که دو بردار V₁ و V₂ که به‌عنوان بردارهای آزاد در نظر گرفته می‌شوند را می‌توان با بردار معادل V که بردار برآیند این دو بردار نامیده می‌شود جایگزین کرد. این شیوه ترکیب بردارها به جمع برداری موسوم است و با معادله زیر بیان می‌شود. همچنین ترتیب افزودن بردارها به یکدیگر تأثیری بر برآیند آن‌ها ندارد.

\vec{V}=\vec{V_1}+\vec{V_2}=\vec{V_2}+\vec{V_1}

علامت جمع بین کمیت‌های برداری به معنی جمع برداری است و نه جمع اسکالر. در جمع اسکالر اندازه‌های دو بردار به‌صورت زیر نوشته می‌شود.

V\neq{V_1}+{V_2}

برای یافتن بردار برآیند دو بردار می‌توان از قاعده جمع متوازی‌الاضلاع و یا جمع مثلث استفاده نمود. در روش جمع متوازی‌الاضلاع در یک نقطه، دو بردار با حفظ طول و زاویه رسم شده و مانند شکل زیر عمل جمع انجام می‌شود که قطر متوازی‌الاضلاع حاصل مقدار جمع بردارها است.

در جمع مثلث ابتدا بردار اول با حفظ طول و زاویه آن رسم شده سپس بردار دوم از انتهای بردار اول رسم می‌گردد. مانند شکل زیر ضلع سوم مثلث مقدار حاصل‌جمع برداری است. راستای آن نیز از ابتدای بردار اول به سمت انتهای بردار دوم است.

تفریق دو بردار نیز به‌صورت زیر نمایش داده می‌شود.

\vec{V´}=\vec{V_1}-\vec{V_2}=\vec{V_1}+(-\vec{V_2})

هر یک از دو یا چند برداری که مجموع آن‌ها برابر بردار V باشد را مولفه‌های بردار V می‌نامیم. برای راحت‌تر بودن محاسبات معمولاً از مؤلفه‌های متعامد در راستای X و Y استفاده می‌شود.

از دیدگاه ریاضی بردار V را می‌توان به‌صورت حاصل‌ضرب اندازه آن در بردار یکه (واحد) n که راستای آن مشابه بردار V است بیان نمود.

\vec{V}=V\times\vec{n\mathrm{\ }}

در این روش اندازه و راستای بردار در یک عبارت ریاضی گنجانده می‌شود. در بسیاری از مسائل راحت‌تر است که مؤلفه‌های متعامد بردار را به صورت عبارت‌هایی بر حسب بردارهای واحد i و j و k بیان کرد. این بردارها به ترتیب بردارهایی با طول واحد در راستای محورهای x و y و z هستند. بنابراین جمع برداری مؤلفه‌های بردار V را می‌توان به‌صورت زیر بیان کرد.

\vec{V}=V_x\vec{i}+V_y\vec{j}+V_z\vec{k}

با استفاده از کسینوس‌های هادی l و m و n مربوط به بردار V که به شکل زیر تعریف می‌شوند، می‌توان اندازه مؤلفه‌های بردار V را نوشت.

l=\cos{\theta_x} \\\\\ m=\cos{\theta_y} \\\\\ n=\cos{\theta_z}

V_x=lV \\\\\ V_y=mV \\\\\ V_z=nV

که مطابق با قضیه فیثاغورث داریم:

V^2={V_x}^2+{V_y}^2+{V_z}^2

۵- قوانین نیوتن

قانون اول نیوتن: اگر به جسمی نیرو وارد نشود، اگر ساکن باشد، ساکن باقی می‌ماند و اگر متحرک باشد بدون تغییر سرعت به حرکت خود ادامه می‌دهد. قانون اول نیوتن بیانگر اصل تعادل نیروهاست که بحث درس استاتیک می‌باشد.

قانون دوم نیوتن: اگر به جسم نیرو وارد شود به آن شتابی می‌دهد که جهت آن هم جهت با برآیند نیروها و مقدار آن متناسب با برآيند نيروهاست.

F=ma

قانون سوم نیوتن: هر عملی را عکس‌العملی است. مساوی با آن و در خلاف جهت. بر اساس این قانون نیروها همیشه به‌صورت زوج‌های با اندازه برابر و در جهت مخالف رخ می‌دهند.

به‌عنوان یک نکته هنگام تحلیل رفتار اجسام تحت اثر نیروها بايد مشخص کنید که کدامیک از نیروهای عمل و عکس‌العمل مدنظر است. این کار با رسم دیاگرام آزاد جسم انجام می‌پذيرد.

۶- سیستم‌های آحاد

در مکانیک چهار کمیت طول، جرم، نیرو و زمان کمیت‌های اصلی هستند که به ابعاد اصلی موسومند. در جدول زیر مشخصات این کمیت‌ها در سیستم واحدهای بین‌المللی (SI) و واحدهای ایالات متحده (US) آمده است.

US واحدهای			SI واحدهای			نمای ابعادی	کميت
نماد	واحد		نماد	واحد		نمای ابعادی	کميت
–	اِسلاگ		kg	کیلوگرم	واحدهای اصلی	M	جرم
ft	فوت	واحدهای اصلی	m	متر		L	طول
sec	ثانیه		s	ثانیه		T	زمان
lb	پوند		N	نیوتن		F	نيرو

واحد نیوتن به‌عنوان واحد نیرو به کمک معادله زیر با استفاده از سه واحد قبل حاصل می‌شود.

N=kg.m/s^2

بنابراین ۱ نیوتن نیرویی است که اگر به جسمی با جرم ۱ کیلوگرم وارد شود شتابی برابر ۱ متر بر مجذور ثانیه به آن می‌دهد.

بنابراین نیروی گرانش در حالت سقوط آزاد برای جسم با وزن W و جرم m به‌صورت زیر خواهد بود. (g شتاب گرانش برابر ۹.۸۱ متر بر مجذور ثانیه)

W(N)=m(kg)×g(m/𝑠^2)

۷- قانون گرانش

قانون گرانش به‌صورت زیر بیان می‌شود:

F=G\frac{m_1m_2}{r^2}

که در آن:
F: نیروی جاذبه متقابل بین دو جسم
G: ثابت گرانش

G=6.673\times{10}^{-11}m^3/(kg.s^2)

m₁ و m₂: جرم دو جسم
r: فاصله بین مراکز دو جسم
نیروهای جاذبه متقابل F از قانون سوم نیوتن (عمل و عکس‌العمل) پیروی می‌کنند. مانند شکل زیر این دو نیرو در راستای خط واصل مراکز دو ذره و مخالف جهت یکدیگرند.

۸- شیوه حل مسائل در استاتیک

در حل مسائل استاتیک باید به سه بخش زیر توجه داشته باشیم:

اول باید فرضیات مناسبی نسبت به نوع مسئله پیشرو اتخاذ کنیم. به‌طور مثال اگر ابعاد سطحی که نیروی به جسم اثر می‌کند در مقایسه با سایر ابعاد جسم کوچک باشد، می‌توانیم آن نیرو را به صورت متمرکز در نظر بگیریم.

دوم باید دیاگرام جسم آزاد جسم را رسم کنیم. ترسیم جسم مجزا شده از کل سیستم و رسم تمامی نیروهای وارد بر آن را نمودار جسم آزاد گوییم.

سوم باید روش مناسب برای حل مسئله را انتخاب کنیم. به‌طور مثال استفاده از روش‌های ریاضی یا ترسیمی و در برخی موارد حل به کمک کامپیوتر در زمانی که تعداد معادلات زیاد باشد.
به‌عنوان یادآوری خوب است که قانون سینوس‌ها و کسینوس‌ها را مرور کنیم.
قانون کسینوس‌ها:

R=\sqrt{R_1^2+R_2^2-2R_1R_2\cos{\theta}}

R=\sqrt{R_1^2+R_2^2+2R_1R_2\cos{\alpha}}

قانون سینوس‌ها:

\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}

۹- نمونه مسائل فصل اول استاتیک مریام

برای فهم بهتر مسائل می‌توانید به ویدیو این آموزش مراجعه کنید.

۱-۹- مسئله اول

برای بردارهای V₁ و V₂ که در شکل نشان داده شده‌اند:
الف) اندازه بردار برآیند S=V₁+V₂ را تعیین کنید.
ب) زاویه α بین بردار برآیند S و جهت مثبت محور X را به‌دست آورید.
ج) بردار S را برحسب بردارهای واحد i و j بنویسید و سپس بردار واحد راستای S را به‌دست آورید.
د) بردار تفریق D=V₁-V₂ را تعیین کنید.

الف) به کمک قانون کسینوس‌ها

S=\sqrt{3^2+4^2-2\times3\times4\times\cos{105}}=5.59\ units

ب) به کمک قانون سینوس‌ها مطابق شکل قبل داریم:

\frac{\sin{105}}{5.59}=\frac{\sin{(\alpha+30)}}{4}

\sin(\alpha+30)=0.692

\alpha+30=\sin^{-1}{0.692}

\alpha=43.8-30=13.8

ج)

\vec{S}=S_x\vec{i}+S_y\vec{j}

\sin{\alpha}=\frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{وتر}}=\frac{S_y}{5.59}→S_y=5.59×sin13.8=1.33

\cos{\alpha}=\frac{\text{ضلع مجاور}}{\text{وتر}}=\frac{S_x}{5.59}→S_x=5.59×cos13.8=5.43

\vec{S}=5.43\vec{i}+1.33\vec{j}

\vec{S}=S\times\vec{n\mathrm{\ }}\rightarrow\vec{n\mathrm{\ }}=\frac{\vec{S}}{S}=\frac{5.43\vec{i}+1.33\vec{j}}{5.59}=0.97\vec{i}+0.24\vec{j}

د)

\vec{V_1}=V_{1x}\vec{i}+V_{1y}\vec{j}

\sin{\alpha}=\frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{وتر}}=\frac{V_{1y}}{4}\rightarrow\ V_{1y}=4\times\sin{45=2.83}

\cos{\alpha}=\frac{\text{ضلع مجاور}}{\text{وتر}}=\frac{V_{1x}}{4}\rightarrow\ V_{1x}=4\times\cos{45}=2.83

\vec{V_1}=2.83\vec{i}+2.83\vec{j}

\vec{V_2}=V_{2x}\vec{i}-V_{2y}\vec{j}

-\vec{V_2}=-V_{2x}\vec{i}+V_{2y}\vec{j}

-\vec{V_2}=-2.6\vec{i}+1.5\vec{j}

\sin{\alpha}=\frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{وتر}}=\frac{V_{2y}}{3}\rightarrow\ V_{2y}=3\times\sin{30=1.5}

\cos{\alpha}=\frac{\text{ضلع مجاور}}{\text{وتر}}=\frac{V_{2x}}{3}\rightarrow\ V_{2x}=3\times\cos{30}=2.6

\vec{D}=\vec{V_1}-\vec{V_2}=\vec{V_1}+(-\vec{V_2})=(2.83\vec{i}+2.83\vec{j})+(-2.6\vec{i}+1.5\vec{j})=0.23\vec{i}+4.33\vec{j}

۲-۹- مسئله دوم

نیرویی با بردار F=120i-160j+80kN بیان شده است. زاویه‌ای که بردار F با جهت مثبت محورهای x و y و z می‌سازد را تعیین کنيد.

برای مشاهده حل این سوال به صفحه آموزش (حل تمرین استاتیک تمامی فصل‌ها) مراجعه کنید.

۱۰- مراجع

Meriam, J. L. and Kraige, L. G. (2011). Engineering Mechanics Volume 1: Statics. 7th ed. ‎John Wiley and Sons Inc

دانلود رایگان جزوه فصل اول استاتیک مریام برای رشته عمران

فرمت فایل

pdf

حجم فایل

۲.۷ مگابایت

کد آموزش

۳۱۳-۰۰۱-۰۰۱

برای تسلط بیشتر بر این مبحث و یادگیری کامل‌تر مطالب، پیشنهاد می‌کنیم دوره جامع ویدیویی مرتبط با این موضوع را مشاهده کنید. این دوره با آموزش‌های کاربردی و مثال‌ها و تمرین‌های متنوع، مسیر یادگیری و تسلط شما را ساده‌تر می‌کند.