رسم نمودار نیروی برشی و لنگر خمشی در اکسل

آموزش رسم نمودار برش و خمش تیر با استفاده از اکسل

تاریخ انتشار

آذر 1403

آخرین به‌روزرسانی

شهریور 1405

آموزش‌های مرتبط

آموزش اکسل ویژه مهندسین عمران

فایل‌های تکمیلی

دارد

مدرس آموزش

مهندس سید محمد صادق آل‌محمد

مهندس عمران

کارشناس ارشد ژئوتکنیک

۱- آنچه در این آموزش خواهیم خواند…

پروژه‌ای که قصد داریم در آموزش رسم نمودار برش و خمش تیر با استفاده از اکسل به آن بپردازیم، رسم نمودار برش و خمش یک تیر کنسول در نرم‌افزار اکسل است. برای این پروژه تیر کنسول شکل زیر با معادله بار مشخص شده در آن را داریم. لازم به ذکر است که این روش قابل تعمیم برای یک تیر با انواع شرایط تکیه‌گاهی و انواع حالات بار می‌باشد. حال برای بررسی کامل پروژه به سه روش نمودارها را رسم می‌کنیم. روش اول، به روش دستی و به کمک معادلات تعادل، روش دوم، با اکسل و به کمک معادلات تعادل و روش سوم با استفاده از اکسل.

۲- رسم نمودار برش و خمش به روش دستی و به کمک معادلات تعادل

این روش را قبلاً در سه آموزش، نیروهای گسترده بخش اول، نیروهای گسترده بخش دوم و نیروهای گسترده بخش سوم به طور کامل شرح دادیم.
ابتدا دیاگرام آزاد کل تیر برای محاسبه عکس‌العمل تکیه‌گاهی را رسم می‌کنیم.

𝑥=0→𝑞(𝑥)=400 𝑁

𝑥=6→𝑞(𝑥)=1282 𝑁

R=\int_{0}^{6}q\left(x\right)dx=\int_{0}^{6}{3x^3+5x^2+9x+400}dx=\left.\ (\frac{3x^4}{4}+\frac{5x^3}{3}+\frac{9x^2}{2}+400x)\right|_0^6=3894\ N

\bar{x}=\frac{\int x\ q(x)}{R}=\frac{\int_{0}^{6}{x(3x^3+5x^2+9x+400)}dx}{3894}=\frac{14133.6}{3894}=3.62958m

\curvearrowleft^+{\mathrm{\Sigma M}}_A=0\rightarrow\ M-3894\times\left(6-3.63\right)=0\rightarrow\ M=9230.4\ N.m \text{پادساعتگرد}

{\mathrm{\Sigma F}}_y=0\rightarrow\ R_y-3894=0\rightarrow\ R_y=3894\ N

حال برای مقطع سمت راست تیر داریم:

{\mathrm{\Sigma F}}_y=0\rightarrow\ V-\int_{0}^{x}q\left(x\right)dx=0\rightarrow\ V=\int_{0}^{x}{3x^3+5x^2+9x+400}dx=\frac{3x^4}{4}+\frac{5x^3}{3}+\frac{9x^2}{2}+400x

\curvearrowright^+{\mathrm{\Sigma M}}_O=0\rightarrow\ M+\int_{0}^{x}{(3{\bar{x}}^3+5{\bar{x}}^2+9\bar{x}+400)(x-\bar{x})}d\bar{x}=0\rightarrow\ M=-(\frac{3x^5}{20}+\frac{5x^4}{12}+\frac{3x^3}{2}+200x^2)

حال که معادلات برش و لنگر را داریم مقادیر x را در آن گذاشته و نمودار را رسم می‌کنیم. با توجه به اینکه نمودار بار نزولی است تقعر نمودار برش رو به بالا خواهد بود. نمودار بار مثبت است بنابراین نمودار برش نزولی خواهد بود. نمودار بار درجه ۳ است پس نمودار برش درجه ۴ می‌باشد. نمودار برش درجه ۴ است پس نمودار خمش درجه ۵ خواهد بود. نمودار برش کاهشی است پس تقعر نمودار خمش رو به پایین می‌باشد.

V=\frac{3x^4}{4}+\frac{5x^3}{3}+\frac{9x^2}{2}+400x

M=-(\frac{3x^5}{20}+\frac{5x^4}{12}+\frac{3x^3}{2}+200x^2)

R_y=3894\ N

M=9230.4\ N.m \text{پادساعتگرد}

M	v	x
0	0	0
9230.4	3894	6

۳- رسم نمودار برش و خمش با استفاده از اکسل و به کمک معادلات تعادل

با توجه به محاسبات قبل سه معادله بار، برش و خمش تیر به شرح زیر محاسبه شد.

q\left(x\right)=3x^3+5x^2+9x+400

V=\frac{3x^4}{4}+\frac{5x^3}{3}+\frac{9x^2}{2}+400x

M=-(\frac{3x^5}{20}+\frac{5x^4}{12}+\frac{3x^3}{2}+200x^2)

در نرم‌افزار اکسل چهار ستون را تشکیل می‌دهیم. ستون اول مقادیر مختلف x را وارد می‌کنیم. در ستون دوم معادله بار، ستون سوم معادله برش و در ستون چهارم معادله خمش را به شرح زیر وارد می‌کنیم:
معادله بار:

رسم نمودار برش و خمش با استفاده از اکسل و به کمک معادلات تعادل

معادله برش:

معادله خمش:

حال از منوی Insert برای رسم نمودار اقدام می‌کنیم.

حال در نمودار خالی ایجاد شده راست کلیک کرده و گزینه Select Data را انتخاب می‌کنیم.

در پنجره باز شده روی Add کلیک کرده و در پنجره جدیدی که باز می‌شود مقادیر x و در سه مرحله مقادیر بار، برش و خمش را به عنوان y برای سه نمودار انتخاب می‌کنیم.

و سه نمودار ما به شکل زیر خواهد شد.

۴- رسم نمودار برش و خمش با استفاده از اکسل

مساحت زیر نمودار بار برابر با مقدار برش می‌باشد. همچنین مساحت زیر نمودار برش برابر با مقدار خمش می‌باشد. بنابراین ابتدا با استفاده از معادله بار نمودار آن را رسم می‌کنیم. سپس با محاسبه مساحت زیر نمودار بار با روش المان‌بندی منحنی بار، نمودار برش را رسم می‌کنیم. و در نهایت با محاسبه مساحت زیر نمودار برش با روش المان‌بندی منحنی برش، نمودار خمش رسم می‌شود.

در اکسل جدولی مطابق با جدول زیر رسم می‌کنیم.

ستون اول dx نام گذاری می‌کنیم و بازه ۶ متری x را به المان‌های کوچک dx تقسیم بندی می‌کنیم.

در ستون دوم رابطه بار را وارد می‌کنیم.

در ستون سوم مساحت المان را وارد می‌کنیم. در این رابطه از تابع قدر مطلق ABS استفاده می‌شود و مساحت یک المان مستطیلی محاسبه می‌شود.

در ستون چهارم مجموع مساحت‌ها را با SUM حساب می‌کنیم.

در ستون پنجم یک جمع تجمعی را تشکیل می‌دهیم.

در ستون ششم مقدار برش در هر المان محاسبه می‌شود.

در ستون هفتم مساحت المان‌های زیر نمودار برش را حساب می‌کنیم.

ستون هشتم مجموع مساحت المان‌های زیر نمودار برش خواهد بود.

ستون نهم جمع تجمعی مساحت المان‌های زیر نمودار برش خواهد بود. در ستون دهم نیز میزان خمش محاسبه می‌شود. برای فهم دقیق این موارد به ویدیو مراجعه کنید.

حال با استفاده از ستون dx به‌عنوان مقادیر x، ستون w به‌عنوان مقادیر بار، ستون V_i به‌عنوان مقادیر برش و ستون M_i به‌عنوان خمش می‌توان مانند قبل نمودارها رسم نمود.

حال دقت کار ما کم هست با انتخاب dxهای کوچکتر به طور مثال با فواصل ۰/۰۰۱ کار را تکرار می‌کنیم.
همانطور که در ابتدای این مقاله صحبت کردیم این روش قابل تعمیم برای انواع شرایط تکیه‌گاهی و بار می‌باشد که به طور مثال برای تیر کنسول با بار گسترده ثابت و با بار گسترده سینوسی نیز رسم شده است. که در فایل پیوست قابل مشاهده است.
در نهایت در جدول زیر هر سه روش بحث شده را مقایسه می‌کنیم و دقت هر روش نسبت به دیگری در جدول آمده است.

ماکسیمم خمش(m.NK)	ماکسیمم خمش(m.N)	ماکسیمم برش(N)	روش
-9.23	-9230.4	3894	۱) به روش دستی و به کمک معادلات تعادل
-9.23	-9230.4	3894	۲) با اکسل و به کمک معادلات تعادل
-8.86	-8855.02	3894	Δx=0.1	۳) با اکسل
-9.23	-9226.51	3894	Δx=0.001
-9.23	-9230.01	3894	Δx=0.0001

بنابراین این روش عددی برای محاسبه انتگرال‌هایی که به روش تحلیلی قابل محاسبه نباشد کارآمد است. به این نکته توجه داشته باشید که معادله بار مورد استفاده نیز باید در بازه محاسبات مساحت پیوسته باشد. در این روش افزایش تعداد المان‌ها منجر به بهبود دقت نتایج می‌شود. و به عنوان یک قائده کلی می‌توانیم فرآیند محاسبات را با تعداد کمی المان شروع کنیم و سپس تعداد المان ها را تا زمانی که در مقدار مساحت تغییری مشاهده نشود افزایش دهیم.

۵- مراجع

Meriam, J. L. and Kraige, L. G. (2011). Engineering Mechanics Volume 1: Statics. 7th ed. ‎John Wiley and Sons Inc

دانلود رایگان فایل اکسل رسم نمودار برش و خمش تیر همراه با آموزش

فرمت فایل

zip

حجم فایل

۵.۱ مگابایت

کد آموزش

۳۱۳-۰۰۲-۰۰۱

برای تسلط بیشتر بر این مبحث و یادگیری کامل‌تر مطالب، پیشنهاد می‌کنیم دوره جامع ویدیویی مرتبط با این موضوع را مشاهده کنید. این دوره با آموزش‌های کاربردی و مثال‌ها و تمرین‌های متنوع، مسیر یادگیری و تسلط شما را ساده‌تر می‌کند.