آموزش مقاومت مصالح بیر جانسون فصل سوم پیچش (تنش و تغییر شکل در محورهای گرد – تنش در محدوده الاستیک)

اشتراک گذاری در ...

1- آنچه در این آموزش خواهیم خواند…

آموزش پیچش (تنش و تغییر شکل در محورهای گرد – تنش محدوده الاستیک)، بخش اول از فصل سوم کتاب مقاومت مصالح بیر جانسون با عنوان پیچش می‌باشد. در این آموزش درباره بحث مقدماتی تنش در محورهای گرد، تغییر شکل در محور گرد و تنش‌های محدوده‌ی الاستیک بحث خواهیم داشت.

در دو فصل گذشته (لیست آموزش‌های مقاومت مصالح بیر جانسون) به بررسی چگونگی محاسبه‌ی تنش‌ها و کرنش‌ها در اعضای تحت بارهای محوری پرداختیم. در این فصل به بررسی پیچش اعضا و به طور ویژه به تحلیل تنش‌ها و کرنش‌های اعضای با مقطع دایره‌ای که تحت تأثیر کوپل‌های پیچشی یا گشتاورهای پیچشی قرار دارند می‌پردازیم. این کوپل‌ها دارای مقدار یکسان اما جهت‌های مخالفند. کوپل‌ها کمیتی‌هایی برداری‌اند و آن‌ها را می‌توان با پیکان‌های خمیده یا با بردارهای کوپل نشان داد.

2- بحث مقدماتی تنش در محورهای گرد

محور AB تحت اثر گشتاور پیچشی است در این حالت عمود بر محور طولی در نقطه C محور را برش می‌زنیم.

آموزش مقاومت مصالح بیر جانسون فصل سوم پیچش (تنش و تغییر شکل در محورهای گرد – تنش در محدوده الاستیک)

نمودار جسم آزاد بخش BC شامل نیروهای برشی جزئی dF که عمود بر شعاع محور است، رسم می‌شود.

شرایط تعادل بخش BC را می‌نویسیم. در این رابطه ρ فاصله نیروهای جزیی از محور طولی عضو می‌باشد.

همچنین با توجه به (τ) تنش برشی روی سطح جزئی dA به صورت داریم:

رابطه‌ی به‌دست آمده چیزی در مورد چگونگی توزیع تنش‌ها در مقطع بیان نمی‌کند (توزیع τ برحسب ρ) بنابراین توزیع واقعی تنش‌ها تحت تأثیر بار مفروض از نظر استاتیکی نامعین است. برای تعیین چگونگی توزیع تنش‌ها باید ابتدا تغییر شکل‌های ایجاد شده در محور را تحلیل نمود.

3- تغییر شکل در محور گرد

محور گردی از یک سمت به تکیه‌گاه گیردار متصل است. به انتهای دیگر محور گشتاور پیچشی T وارد شود. محور به اندازه‌ی زاویه‌ی پیچش (φ) چرخش می‌کند. در محدوده‌ی معینی از مقادیرT ، زاویه‌ی پیچش با T متناسب است و با طول L نیز نسبت مستقیم دارد.

در اینجا یک هدف تحلیل به‌دست آوردن رابطه‌ی بین φ و L و T است و هدف دیگر تعیین توزیع تنش‌های برشی در محور گرد است.

به این نکته توجه کنید که خصوصیت مهم محورهای گرد این است که زمانی که محور گردی تحت پیچش قرار می‌گیرد تمامی مقاطع آن به صورت صفحه‌ای و نتابیده باقی می‌مانند چون محور گرد دارای تقارن محوری است.

برای آن که تمامی مقاطع محور گرد از یک انتها تا انتهای دیگر به‌صورت صفحه‌ای و نتابیده باقی بمانند باید کوپل‌ها به صفحات صلبی وارد کرد که به دو انتهای محور متصل شده اند. در این حالت تغییر شکل‌های حاصل در سرتاسر طول محور گرد یکنواخت است. همچنین با توجه به اصل سن و نان در پیچش باید از محل اثر لنگر پیچشی انتهایی به اندازه کافی دور باشیم تا تمرکز تنش ناشی از آن در محاسبات وارد نشود.

می‌خواهیم توزیع کرنش‌های برشی در محور گردی به طول L و شعاع C که به اندازه‌ی زاویه‌ی φ پیچانده شده است را تعیین کنیم. برای این کار استوانه ای به شعاع ρ از این محور گرد جدا کردنه و جزء مربعی کوچکی را فرض می‌کنیم. با اعمال بار پیچشی به محور گرد این جزء کوچک به صورت لوزی تغییر شکل می‌دهد. کرنش برشی γ در یک جزء کوچک معین با تغییر زاویه‌ی میان اضلاع آن جزء اندازه گیری می‌شود.

4- تنش‌های محدوده‌ی الاستیک

حال حالتی که تمامی تنش‌های برشی ایجاد شده در محور گرد کمتر از مقاومت تسلیم هستند را بررسی می‌کنیم. در این حالت طبق قانون هوک برای تنش و کرنش برشی داریم:

توزیع تنش در محور گرد توپر و توخالی به صورت زیر است. برای محور گرد توخالی داریم:

با توجه به بحث مقدماتی تنش در محورهای گرد داریم:

همچنین با توجه به ممان اینرسی قطبی دایره با شعاع c برای ممان اینرسی قطبی لوله (محور گرد توخالی)داریم:

از این دو رابطه برای محورهای با مقطع متغیر و یا محوری که از محل دیگری به جز دو انتها تحت پیچش قرار دارند نیز می‌توان استفاده نمود.

در صورت دوران المان به اندازه 45 درجه تنش‌های عمودی مقداری برابر با تنش برشی خواهند داشت.

مواد شکل پذیر معمولاً در برش دچار گسیختگی می‌شوند بنابراین زمانی که ماده‌ی شکل پذیر تحت پیچش قرار می‌گیرد در امتداد صفحه‌ای عمود بر محور طولی خود شکسته می‌شود. مواد شکننده در کشش ضعیف‌تر از برش‌اند. بنابراین ماده‌ی شکننده‌ی تحت پیچش در امتداد صفحاتی شکسته می‌شود که بر امتداد کشش حداکثر عموداند یعنی در امتداد صفحاتی که با محور طولی نمونه زاویه ی ۴۵ درجه تشکیل می‌دهند.

5- مسئله 3-1

محور BC محوری تو خالی است و قطر داخلی و خارجی آن به ترتیب 90mm و 120mm است. محورهای AB وCD توپر بوده و قطر آنها d است. با توجه به بارگذاری نشان داده شده تعیین کنید:
الف) حداکثر و حداقل تنش برشی در محور BC
ب) قطر لازمd محورهایAB وCD برای آن که تنش برشی مجاز در این محورها 65MPa باشد.