مقدمه‌ای بر استاتیک

اشتراک گذاری در ...

1- آنچه در این آموزش خواهیم خواند…

در آموزش فصل اول استاتیک مریام برای رشته عمران | فیلم و جزوه، ابتدا به تعریف علم مکانیک، مفاهیم و اصول آن می‌پردازیم. پس از آن به بررسی کمیت‌های برداری و اسکالر پرداخته و در ادامه بحث قوانین نیوتن، واحدهای اندازه‌گیری و قانون گرانش را شرح خواهیم داد. در انتهای آموزش نیز شیوه حل مسائل مختلف در استاتیک را بیان خواهیم کرد. عنوان آموزش فصل اول استاتیک مریام برای رشته عمران | فیلم و جزوه، مقدمه‌ای بر استاتیک می‌باشد.

2- کتاب‌های مرجع درس استاتیک

در مبحث استاتیک دو مرجع اصلی وجود دارد. اولین کتاب در زمینه آموزش استاتیک کتاب استاتیک جیمز ال. مریام و ال گلن کریک است. دومین مرجعی که برای آموزش استاتیک می‌توان نام برد کتاب استاتیک فردینانند پی بیر، ای. راسل جانسون و دیوید اف مازوروک می‌باشد. هر دو کتاب برای آموزش استاتیک مناسب و مرسوم هستند و ترجمه‌های خوبی از هر دو به چاپ رسیده است. در مبحث آموزش استاتیک در سیویل ژئوتک مبنای کار ما کتاب مریام است و فایل کتاب زبان اصلی و پاسخ نامه آن را می‌توانید از بخش کتابخانه دانلود کنید. خوب است بدانید که انتشارات کتاب استاتیک مریام mcgraw hill می‌باشد.

آموزش فصل اول استاتیک مریام برای رشته عمران | فیلم و جزوه

3- تعریف علم مکانیک، مفاهیم و اصول

1-3- مکانیک چیست؟

مکانیک یکی از شاخه‌های علم فیزیک است که تأثیر نیروها بر اجسام را مورد بررسی قرار می‌دهد. در تحلیل‌های مهندسی، علم مکانیک نقش مهمی دارد. اگرچه اصول علم مکانیک کم تعداد هستند، اما کاربردهای بسیار زیادی در مهندسی دارند. اصول علم مکانیک جهت تحقیق در زمینه‌هایی مانند پایداری و مقاومت سازه‌ها، جریان سیال و … نقش اساسی دارند. بنابراین درک اصول علم مکانیک به عنوان یک پیش نیاز ضروری برای شروع به کار در زمینه‌های مذکور محسوب می شود. علم مکانیک از دیدگاه مفهومی به دو بخش کلی تقسیم می شود:

1- استاتیک که تعادل اجسام تحت اثر نیروها را مورد توجه قرار می دهد.

2- دینامیک که به بررسی حرکت اجسام می پردازد.

2-3- مفاهیم و اصول اساسی مکانیک

مفاهیم و تعاریفی که در زیر بیان شده است، اساس مطالعه و آموختن علم مکانیک را تشکیل می‌دهند.

1- فضا (Space): ناحیه هندسی که به‌وسیله اجسام اشغال شده است. هر نقطه از فضا با دستگاه مختصات دو بعدی یا سه بعدی مشخص می‌شود.

2- زمان (Time): معیار سنجش توالی رویدادهاست. زمان به طور مستقیم در تحلیل مسائل استاتیک وارد نمی‌شود.

3- جرم (Mass): مقدار ماده تشکیل دهنده جسم می‌باشد. جرم معیار سنجش اینرسی (اینرسی: مقاومت در برابر تغییر سرعت) می‌باشد و عامل ایجاد جاذبه گرانشی بین اجسام است.

4- نیرو (Force): عمل یک جسم بر جسم دیگر است. نیرو تمایل دارد جسم را در راستای خط اثرش حرکت دهد. نیرو یک کمیت برداری است که دارای اندازه، راستا و نقطه اثر است.

5- ذره (Particle): جسمی با ابعاد خیلی کوچک است. یا به بیان دیگر جرم متمرکز در یک نقطه است. درحالت ایده‌آل وقتی ابعاد جسم در بیان موقعیت و یا نیروهای وارد بر آن تاثیر نداشته باشد. از دیدگاه ریاضی ذره جسمی است که ابعاد آن بسیار نزدیک به صفر است.

6- جسم صلب (Rigid Body): جسمی که تغییر شکل ندهد یا فاصله بین ذرات آن تغییر نکند جسم صلب می‌باشد. صلبیت نسبی است و زمانی که تغییر شکل بر محاسبات اثر نداشته باشد جسم صلب فرض می‌شود. دانش استاتیک اصولا به محاسبه نیروهای خارجی وارد به اجسام صلب در حال تعادل می‌پردازد.

4- کمیت‌های برداری و اسکالر

در علم مکانیک با دو نوع از کمیت‌‌ها سروکار داریم یکی کمیت اسکالر، و دیگری کمیت برداری است.
کمیت‌های اسکالر (Scalar Quantities): آن‌هایی هستند که تنها با یک مقدار مشخص می‌شوند. برای مثال: زمان، حجم، چگالی،انرژی و…
کمیت‌های برداری (Vector Quantities): علاوه بر اندازه دارای راستا نیز می‌باشند و از قانون جمع متوازی الاضلاع پیروی می‌کنند. برای مثال: سرعت، شتاب، نیرو، گشتاور و…
بردارهایی که نشانگر کمیت‌های فیزیکی هستند در سه گروه بردارهای آزاد، لغزان و ثابت طبقه بندی می‌شوند.
بردار آزاد (Free Vector): برداری است که منحصر به یک نقطه نیست. مانند جابجایی یک جسم صلب که دوران و چرخش ندارد.

بردار لغزان (Sliding Vector): برداری است که مقید به یک خط مشخص است. یعنی می‌تواند روی خط اثر خود جابجا شود. مانند بردار وارد بر یک جسم صلب.

بردار ثابت (Fixed Vector): برداری که منحصر به یک نقطه از فصاست. مانند نیروی وارد بر یک جسم غیر صلب.

1-4- قراردادهای مرسوم

به طور مثال برای کمیت برداری V به صورت زیر عمل می‌کنیم:
برای نشان دادن کمیت‌های برداری از علائم زیر استفاده می‌شود.

و برای نشان دادن اندازه آن از علائم زیر استفاده می‌شود.

2-4- آشنایی با بردارها

همانطور که در شکل مشخص است، راستای بردار V با زاویه‌ای که نسبت به یک راستای مرجع اندازه‌گیری می‌شود، مشخص می‌گردد. منفی بردار V را با V- نمایش می‌دهیم و دارای اندازه برابر، راستای یکسان اما جهت مخالف یکدیگر هستند.

بردارها بایستی از قانون جمع متوازی الاضلاع پیروی کنند. این قانون بیانگر این است که دو بردار V₁ و V₂ که به عنوان بردارهای آزاد در نظر گرفته می‌شوند را می‌توان با بردار معادل V که بردار برآیند این دو بردار نامیده می‌شود جایگزین کرد. این شیوه ترکیب بردارها به جمع برداری موسوم است و با معادله زیر بیان می‌شود. همچنین ترتیب افزودن بردارها به یکدیگر تاثیری بر برآیند آن ‌ها ندارد.

علامت جمع بین کمیت‌های برداری به معنی جمع برداری است و نه جمع اسکالر. در جمع اسکالر اندازه‌های دو بردار به صورت زیر نوشته می‌شود.

برای یافتن بردار برآیند دو بردار می توان از قاعده‌ی جمع متوازی الاضلاع و یا جمع مثلث استفاده نمود. در روش جمع متوازی الااضلاع در یک نقطه در دو بردار با حفظ طول و زاویه رسم شده و مانند شکل زیر عمل جمع انجام میشود که قطر متوازی الاضلاع حاصل مقدار جمع بردارها است.

در جمع مثلث ابتدا بردار اول با حفظ طول و زاویه آن رسم شده سپس بردار دوم از انتهای بردار اول رسم می‌گردد. مانند شکل زیر ضلع سوم مثلث مقدار حاصل جمع برداری است. راستای آن نیز از ابتدای بردار اول به سمت انتهای بردار دوم است.

تفریق دو بردار نیز به صورت زیر نمایش داده می‌شود.

هر يک از دو يا چند برداري که مجموع آنها برابر بردار V باشد را مولفه‌های بردار V می‌نامیم. براي راحت‌تر بودن محاسبات معمولا از مولفه‌هاي متعامد در راستاي X و Y استفاده مي‌شود.

از دیدگاه ریاضی بردار V را می‌توان به صورت حاصل‌ضرب اندازه آن در بردار یکه (واحد) n که راستای آن مشابه بردار V است بیان نمود.

در این روش اندازه و راستای بردار در یک عبارت ریاضی گنجانده می‌شود. در بسیاری از مسائل راحت تر است که مؤلفه‌های متعامد بردار را به صورت عبارت‌هایی بر حسب بردارهای واحد i و j و k بیان کرد. این بردارها به ترتیب بردارهایی با طول واحد در راستای محورهای x و y و z هستند. بنابراین جمع برداری مولفه های بردار V را می‌توان به‌صورت زیر بیان کرد.

با استفاده از کسینوس‌های هادی l و m و n مربوط به بردار V که به شکل زیر تعریف می شوند، می‌توان اندازه مولفه‌های بردار V را نوشت.

مولفه های بردار براساس کسینوس زوایای هادی

که مطابق با قضیه فیثاغورث داریم:

5- قوانین نیوتن

قانون اول نیوتن: اگر به جسمي نيرو وارد نشود، اگر ساکن باشد، ساکن باقي مي‌ماند و اگر متحرک باشد بدون تغيير سرعت به حرکت خود ادامه مي‌دهد. قانون اول نيوتن بيانگر اصل تعادل نيروهاست که بحث درس استاتيک می‌باشد.

قانون دوم نیوتن: اگر به جسم نيرو وارد شود به آن شتابي مي‌دهد که جهت آن هم جهت با برآيند نيروها و مقدار آن متناسب با برآيند نيروهاست. (F=ma)

قانون سوم نیوتن: هر عملي را عکس العملي است. مساوي با آن و در خلاف جهت. براساس این قانون نيروها هميشه به‌صورت زوج‌هاي با اندازه برابر و در جهت مخالف رخ مي‌دهند.

به عناون یک نکته هنگام تحليل رفتار اجسام تحت اثر نيروها بايد مشخص کنيد که کداميک از نيروهاي عمل و عکس العمل مدنظر است. اين کار با رسم دياگرام آزاد جسم انجام مي‌پذيرد.

6- سیستم‌های آحاد

در مکانیک چهار کمیت طول، جرم، نیرو و زمان کمیت‌های اصلی هستند که به ابعاد اصلی موسومند. در جدول زیر مشخصات این کمیت‌ها در سیستم واحدهای بین‌المللی (SI) و واحدهای ایالات متحده (US) آمده است.

واحد نیوتن به عناون واحد نیرو به کمک معادله زیر با استفاده از سه واحد قبل حاصل می‌شود.

بنابراین 1 نیوتن نیرویی است که اگر به جسمی با جرم 1 کیلوگرم وارد شود شتابی برابر 1 متر بر مجذور ثانیه به آن می‌دهد.

بنابراین نیروی گرانش در حالت سقوط آزاد برای جسم با وزن W به صورت زیر خواهد بود.(g شتاب گرانش برابر 9.81 متر بر مجذور ثانیه)

7- قانون گرانش

قانون گرانش به صورت زیر بیان می‌شود:

که در آن:
F: نیروی جاذبه متقابل بین دو جسم
G: ثابت گرانش

m₁ و m₂: جرم دو جسم
r: فاصله بین مراکز دو جسم
نیروهای جاذبه متقابل F از قانون سوم نیوتن (عمل و عکس‌العمل) پیروی می‌کنند. مانند شکل زیر این دو نیرو در راستای خط واصل مراکز دو ذره و مخالف حهت یکدیگرند.

8- شیوه حل مسائل در استاتیک

در حل مسائل استاتیک باید به سه بخش زیر توجه داشته باشیم:

اول باید فرضیات مناسبی نسبت به نوع مسئله پیش رو اتخاذ کنیم. به طور مثال اگر ابعاد سطحی که نیروی به جسم اثر می‌کند در مقایسه با سایر ابعاد جسم کوچک باشد، می‌توانیم آن نیرو را به صورت متمرکز درنظر بگیریم.

دوم باید دیاگرام جسم آزاد جسم را رسم کنیم. ترسیم جسم مجزا شده از کل سیستم و رسم تمامی نیروهای وارد بر آن را نمودار جسم آزاد گوییم.

سوم باید روش مناسب برای حل مسئله را انتخاب کنیم. به‌طور مثال استفاده از روش‌های ریاضی یا ترسیمی و در برخی موارد حل به کمک کامپیوتر در زمانی که تعداد معادلات زیاد باشد.
به عنوان یادآوری خوب است که قانون سینوس‌ها و کسینوس‌ها را مرور کنیم.
قانون کسینوس‌ها:

قانون سینوس‌ها:

9- نمونه مسائل فصل اول استاتیک مریام

برای فهم بهتر مسائل می‌توانید به ویدیو این آموزش مراجعه کنید.

1-9- مسئله اول

برای بردارهای V₁ و V₂ که در شکل نشان داده شده‌اند:
الف) اندازه بردار برایند S=V₁+V₂ را تعیین کنید.
ب) زاویه α بین بردار برآیند S و جهت مثبت محور X را بدست آورید.
ج) بردار S را برحسب بردارهای واحد i و j بنویسید و سپس بردار واحد راستای S را بدست آورید.
د) بردار تفریق D=V₁-V₂ را تعیین کنید.